傅里叶变换——存在的表示和条件
傅里叶变换
傅里叶变换被定义为一种变换技术，它将信号从连续时域变换到相应的频域，反之亦然。换言之，傅立叶变换是一种数学技术，可将时间函数x(t)$$转换为频率X(ω)的函数，反之亦然。
对于连续时间函数$$，x(t)$$的傅立叶变换x(t)可以定义为
$$\mathrm{X(ω)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)\:e^{-j\omegat}dt}$$
关于傅立叶变换的要点
傅里叶变换可应用于周期性和非周期性信号。
傅里叶变换广泛用于LTI（线性时不变）系统的分析、密码学、信号处理、信号分析等。
傅里叶变换有多种应用，从雷达到扩频通信。
傅里叶变换的幅度和相位表示
傅里叶变换的幅度和相位表示是用于分析变换后的函数X(ω)的工具。函数X(ω)是频率$\omega$的复值函数。因此，它可以写为-
$$\mathrm{X(ω)=X_{real}(\omega)+X_{img}(\omega)...(2)}$$
在哪里，
$X_{real}(\omega)$是函数$X(\omega)$的实部，并且
$X_{img}(\omega)$是函数$X(\omega)$的虚部。
因此，函数$X(\omega)$的大小由下式给出，
$$\mathrm{|X(\omega)|=\sqrt{X_{real}^{2}(\omega)}+X_{img}^{2}(\omega)...(3)}$$
并且函数$X(\omega)$的相位由下式给出，
$$\mathrm{\angle\:X(\omega)=\tan^{-1}\left(\frac{X_{real}(\omega)}{X_{img}(\omega)}\right)…(4)}$$
笔记：
绘制在函数$(|X(\omega)|)$和频率(ω)之间的图形称为函数的幅度谱。
绘制在函数$\angle\:X(\omega)$的相位和频率之间的图形称为函数的相位谱。
幅度谱和相位谱一起称为函数的频谱。
傅里叶变换存在的条件
傅里叶变换并不适用于所有非周期信号。因此，要使函数$x(t)$进行傅立叶变换，应满足以下条件（称为狄利克雷条件）-
函数$x(t)$在时间间隔$(-\infty\:to\:\infty)$上是绝对可积的，
$$\mathrm{\int_{−\infty}^{\infty}|X(t)|dt\:<\infty}$$
函数$$x(t)在每个有限的时间间隔内具有有限数量的最大值和最小值。
函数$x(t)$在每个有限的时间间隔内具有有限数量的不连续性。此外，这些不连续性中的每一个都必须是有限的。
Dirichlet条件是充分条件而不是必要条件，也就是说，满足这些条件的函数必然存在傅立叶变换。