使用Python求解最大公约数的实现方法
1.欧几里德算法
欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理：
定理：gcd(a,b)=gcd(b,amodb)
证明：
a可以表示成a=kb+r,则r=amodb
假设d是a,b的一个公约数，则有 d|a,d|b,而r=a-kb,因此d|r。
因此，d是(b,amodb)的公约数。
加上d是(b，amodb)的公约数，则d|b,d|r,但是a=kb+r,因此d也是(a,b)的公约数。
因此，(a,b)和(a,amodb)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证。
欧几里德的Python语言描述为：
defgcd(a,b): ifa<b: a,b=b,a whileb!=0: temp=a%b a=b b=temp returna
2.Stein算法
欧几里德算法是计算两个数最大公约数的传统算法，无论是理论，还是从效率上都是很好的。但是他有一个致命的缺陷，这个缺陷只有在很大的素数时才会显现出来。
考虑现在的硬件平台，一般整数最多也就是64位，对于这样的整数，计算两个数值就的模很简单的。对于字长为32位的平台，计算两个不超过32位的整数的模，只需要一个指令周期，而计算64位以下的整数模，也不过几个周期而已。但是对于更大的素数，这样的计算过程就不得不由用户来设计，为了计算两个超过64位的整数的模，用户也许不得不采用类似于多位除法手算过程中的试商法，这个过程不但复杂，而且消耗了很多CPU时间。对于现代密码算法，要求计算128位以上的素数的情况比比皆是，设计这样的程序迫切希望能够抛弃除法和取模。
Stein算法由J.Stein1961年提出，这个方法也是计算两个数的最大公约数。和欧几里德算法不同的是，Stein算法只有整数的移位和加减法，这对于程序设计者是一个福音。
为了说明Stein算法的正确性，首先必须注意到以下结论：
gcd(a,a)=a，也就是一个数和他自己的公约数是其自身。
gcd(ka,kb)=k*gcd(a,b)，也就是最大公约数运算和倍乘运算可以交换，特殊的，当k=2时，说明两个偶数的最大公约数比如能被2整除。
Stein算法的python实现如下：
defgcd_Stein(a,b): ifa<b: a,b=b,a if(0==b): returna ifa%2==0andb%2==0: return2*gcd_Stein(a/2,b/2) ifa%2==0: returngcd_Stein(a/2,b) ifb%2==0: returngcd_Stein(a,b/2) returngcd_Stein((a+b)/2,(a-b)/2)
3. 一般求解实现
核心代码很简单：
defgcd(a,b): ifb==0:returna returngcd(b,a%b)
附上一个用Python实现求最大公约数同时判断是否是素数的一般方法：
程序如下:
#!/usr/bin/envpython defshowMaxFactor(num): count=num/2 whilecount>1: ifnum%count==0: print'largestfactorof%dis%d'%(num,count) break#break跳出时会跳出下面的else语句 count-=1 else: printnum,"isprime" foreachNuminrange(10,21): showMaxFactor(eachNum)
输出如下:
largestfactorof10is5 11isprime largestfactorof12is6 13isprime largestfactorof14is7 largestfactorof15is5 largestfactorof16is8 17isprime largestfactorof18is9 19isprime largestfactorof20is10