C语言使用DP动态规划思想解最大K乘积与乘积最大问题
最大K乘积问题
设I是一个n位十进制整数。如果将I划分为k段,则可得到k个整数。这k个整数的乘积称为I的一个k乘积。试设计一个算法,对于给定的I和k,求出I的最大k乘积。
编程任务:
对于给定的I和k,编程计算I的最大k乘积。
需求输入:
输入的第1行中有2个正整数n和k。正整数n是序列的长度;正整数k是分割的段数。接下来的一行中是一个n位十进制整数。(n<=10)
需求输出:
计算出的最大k乘积。
解题思路:DP
设w(h,k)表示:从第1位到第K位所组成的十进制数,设m(i,j)表示前i位(1-i)分成j段所得的最大乘积,则可得到如下经典的DP方程:
if(j==1)m(i,j)=w(1,i); if(j>=1&&j<=i)m(i,j)=max{m(d,j-1)*m(d+1,i)}
其中:1<=d<i(即从1开始一直到i-1中找最大值
elseif(i<j)m(i,j)=0;
代码示例:
#include<stdio.h> #include<stdlib.h> #include<string.h> #defineMAXN51 #defineMAXK10 longm[MAXK][MAXN]={{0,0}};/*初始化操作*/ longw[MAXN][MAXN]={{0,0}}; voidmaxdp(intn,intk,int*a) { inti,j,d,h,q,t,s; longtemp,max; for(i=1;i<=n;i++)/*分成1段*/ m[i][1]=w[1][i]; for(i=1;i<=n;i++)/*DP过程*/ for(j=2;j<=k;j++) { max=0; for(d=1;d<i;d++) if((temp=m[d][j-1]*w[d+1][i])>max) max=temp; m[i][j]=max; } } intmain(void) { intn,k,i,j; inta[MAXN]={0},la=0; charc; scanf("%d%d",&n,&k); while((c=getchar())!='')/*读入数据*/ { a[++la]=c-'0'; } for(i=1;i<=n;i++) { w[i][i]=a[i]; for(j=i+1;j<=n;j++) w[i][j]=w[i][j-1]*10+a[j]; } /* for(i=1;i<=n;i++) { for(j=1;j<=n;j++) printf("%d",w[i][j]); printf(""); } */ maxdp(n,k,a); printf("%ld",m[n][k]); /*system("pause");*/ return0; }
乘积最大问题:
(和最大k乘积问题差不多,都是用DP,不过有些细节要注意一下,比如:位数小于乘号,则为0)
描述Description
今年是国际数学联盟确定的“2000——世界数学年”,又恰逢我国著名数学家华罗庚先生诞辰90周年。在华罗庚先生的家乡江苏金坛,组织了一场别开生面的数学智力竞赛的活动,你的一个好朋友XZ也有幸得以参加。活动中,主持人给所有参加活动的选手出了这样一道题目:
设有一个长度N的数字串,要求选手使用K个乘号将它分成K+1个部分,找出一种分法,使得这K+1个部分的乘积能够为最大。
同时,为了帮助选手能够正确理解题意,主持人还举了如下的一个例子:
有一个数字串:312,当N=3,K=1时会有以下两种分法:
(1)3*12=36
(2)31*2=62
这时,符合题目要求的结果是: 31*2=62
现在,请你帮助你的好朋友XZ设计一个程序,求得正确的答案。
输入格式InputFormat
程序的输入共有两行:
1.第一行共有2个自然数N,K(6<=N<=40,1<=K<=6)
2.第二行是一个K度为N的数字串。
输出格式OutputFormat
屏幕输出(结果显示在屏幕上),相对于输入,应输出所求得的最大乘积(一个自然数)。
解法:典型的DP问题
设w(h,q)表示从h位开始的q位数字组合所成的十进制数,m(i,j)表示前i位数字串所得的最大j乘积,初始值为:
m(i,0)=w(1,q);
动规方程如下所示:
if(j==0)m(i,j)=w(1,q); elseif(j>0) m(i,j)=max{m(d,j-1)*w(d+1,i-d)}
ps:其中1<=d<i
代码:
#include<stdio.h> #include<stdlib.h> #include<string.h> #defineMAXN51 #defineMAXK10 longm[MAXK][MAXN]={{0,0}};/*初始化操作*/ longmy_10_pow(intt) { longsum=1; inty; for(y=1;y<=t;y++) sum*=10; returnsum; } longw(intstart,intlen,int*a)/*把数字串转换成对应的十进制数*/ { longres=0; intt,f; for(f=start,t=len-1;t>=0;f++,t--) res+=a[f]*my_10_pow(t); returnres; } voidmaxdp(intn,intk,int*a) { inti,j,d,h,q,t,s; longtemp,max; for(i=1;i<=n;i++) m[i][0]=w(1,i,a); for(i=1;i<=n;i++)/*DP过程。。。。*/ for(j=1;j<=k;j++) { max=0; if(i<=j)/*如果长度小于乘号的个数,则值为0*/ m[i][j]=0; else { for(d=1;d<i;d++) if((temp=m[d][j-1]*w(d+1,i-d,a))>max) max=temp; m[i][j]=max; } } } intmain(void) { intn,k,i,j; inta[MAXN]={0},la=0; charc; scanf("%d%d",&n,&k); while((c=getchar())!='')/*读入数据*/ { a[++la]=c-'0'; } maxdp(n,k,a); printf("max=%ld",m[n][k]); system("pause"); return0; }