使用Python实现牛顿法求极值
对于一个多元函数
其中
上述牛顿法不是全局收敛的。为此可以引入阻尼牛顿法（又称带步长的牛顿法）。
我们知道，求极值的一般迭代格式为
其中
取下降方向
以Rosenbrock函数为例，即有
于是可得函数的梯度
函数
编写Python代码如下（使用版本为Python3.3）：
"""
Newton法
Rosenbrock函数
函数f(x)=100*(x(2)-x(1).^2).^2+(1-x(1)).^2
梯度g(x)=(-400*(x(2)-x(1)^2)*x(1)-2*(1-x(1)),200*(x(2)-x(1)^2))^(T)
"""
importnumpyasnp
importmatplotlib.pyplotasplt
defjacobian(x):
returnnp.array([-400*x[0]*(x[1]-x[0]**2)-2*(1-x[0]),200*(x[1]-x[0]**2)])
defhessian(x):
returnnp.array([[-400*(x[1]-3*x[0]**2)+2,-400*x[0]],[-400*x[0],200]])
X1=np.arange(-1.5,1.5+0.05,0.05)
X2=np.arange(-3.5,2+0.05,0.05)
[x1,x2]=np.meshgrid(X1,X2)
f=100*(x2-x1**2)**2+(1-x1)**2;#给定的函数
plt.contour(x1,x2,f,20)#画出函数的20条轮廓线
defnewton(x0):
print('初始点为:')
print(x0,'\n')
W=np.zeros((2,10**3))
i=1
imax=1000
W[:,0]=x0
x=x0
delta=1
alpha=1
whilei10**(-5):
p=-np.dot(np.linalg.inv(hessian(x)),jacobian(x))
x0=x
x=x+alpha*p
W[:,i]=x
delta=sum((x-x0)**2)
print('第',i,'次迭代结果:')
print(x,'\n')
i=i+1
W=W[:,0:i]#记录迭代点
returnW
x0=np.array([-1.2,1])
W=newton(x0)
plt.plot(W[0,:],W[1,:],'g*',W[0,:],W[1,:])#画出迭代点收敛的轨迹
plt.show()
上述代码中jacobian(x)返回函数的梯度，hessian(x)返回函数的Hesse矩阵，用W矩阵记录迭代点的坐标，然后画出点的搜索轨迹。
可得输出结果为
初始点为: [-1.21.] 第1次迭代结果: [-1.17528091.38067416] 第2次迭代结果: [0.76311487-3.17503385] 第3次迭代结果: [0.763429680.58282478] 第4次迭代结果: [0.999995310.94402732] 第5次迭代结果: [0.99999570.99999139] 第6次迭代结果: [1.1.]
即迭代了6次得到了最优解，画出的迭代点的轨迹如下：
由于主要使用了Python的Numpy模块来进行计算，可以看出，代码和最终的图与Matlab是很相像的。
以上这篇使用Python实现牛顿法求极值就是小编分享给大家的全部内容了，希望能给大家一个参考，也希望大家多多支持毛票票。
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