信号生成及DFT的python实现方式
DFT
DFT(DiscreteFourierTransform)，离散傅里叶变化，可以将离散信号变换到频域，它的公式非常简单:
如果你刚接触DFT，并且之前没有信号处理的相关经验，那么第一次看到这个公式，你可能有一些疑惑，为什么这个公式就能进行时域与频域之间的转换呢？
这里，我不打算去解释它，因为我水平有限，说的不清楚。相反，在这里我想介绍，作为一个程序员，如何如实现DFT
从矩阵的角度看DFT
DFT的公式，虽然简单，但是理解起来比较麻烦，我发现如果用矩阵相乘的角度来理解上面的公式，就会非常简单，直接上矩阵：
OK，通过上面的表示，我们很容易将DFT理解成为一种矩阵相乘的操作，这对于我们编码是很容易的。
Talkischeap,showmethecode
根据上面的理解，我们只需要构建出SSS矩阵，然后做矩阵相乘，就等得到DFT的结果
在这之前，我们先介绍如何生成正弦信号，以及如何用scipy中的fft模块进行DFT操作，以验证我们的结果是否正确
正弦信号
A:幅度
f:信号频率
n:时间下标
T:采样间隔,等于1/fs，fs为采样频率
ϕ\phiϕ:相位
下面介绍如何生成正弦信号
importnumpyasnp importmatplotlib.pyplotasplt %matplotlibinline
defgenerate_sinusoid(N,A,f0,fs,phi): ''' N(int):numberofsamples A(float):amplitude f0(float):frequencyinHz fs(float):samplerate phi(float):initialphase return x(numpyarray):sinusoidsignalwhichlenghtisM ''' T=1/fs n=np.arange(N)#[0,1,...,N-1] x=A*np.cos(2*f0*np.pi*n*T+phi) returnx N=511 A=0.8 f0=440 fs=44100 phi=0 x=generate_sinusoid(N,A,f0,fs,phi) plt.plot(x) plt.show()
#另一种生成正弦信号的方法，生成时长为t的序列 defgenerate_sinusoid_2(t,A,f0,fs,phi): ''' t(float):生成序列的时长 A(float):amplitude f0(float):frequency fs(float):samplerate phi(float):initialphase returns x(numpyarray):sinusoidsignalsequence ''' T=1.0/fs N=t/T returngenerate_sinusoid(N,A,f0,fs,phi) A=1.0 f0=440 fs=44100 phi=0 t=0.02 x=generate_sinusoid_2(t,A,f0,fs,phi) n=np.arange(0,0.02,1/fs) plt.plot(n,x)
ScipyFFT
介绍如何Scipy的FFT模块计算DFT
注意，理论上输入信号的长度必须是
这是因为当长度不等于
fromscipy.fftpackimportfft #generatesinusoid N=511 A=0.8 f0=440 fs=44100 phi=1.0 x=generate_sinusoid(N,A,f0,fs,phi) #fftis X=fft(x) mX=np.abs(X)#magnitude pX=np.angle(X)#phase #plotthemagnitudeandphase plt.subplot(2,1,1) plt.plot(mX) plt.subplot(2,1,2) plt.plot(pX) plt.show()
自己实现DFT
自己实现DFT的关键就是构造出S，有两种方式：
defgenerate_complex_sinusoid(k,N): ''' k(int):frequencyindex N(int):lengthofcomplexsinusoidinsamples returns c_sin(numpyarray):thegeneratedcomplexsinusoid(lengthN) ''' n=np.arange(N) c_sin=np.exp(1j*2*np.pi*k*n/N) returnnp.conjugate(c_sin) defgenerate_complex_sinusoid_matrix(N): ''' N(int):lengthofcomplexsinusoidinsamples returns c_sin_matrix(numpyarray):thegeneratedcomplexsinusoid(lengthN) ''' n=np.arange(N) n=np.expand_dims(n,axis=1)#扩充维度，将1D向量，转为2D矩阵，方便后面的矩阵相乘 k=n m=n.T*k/N#[N,1]*[1,N]=[N,N] S=np.exp(1j*2*np.pi*m)#计算矩阵S returnnp.conjugate(S)
#生成信号，用于测试 N=511 A=0.8 f0=440 fs=44100 phi=1.0 x=generate_sinusoid(N,A,f0,fs,phi) #第一种方式计算DFT X_1=np.array([]) forkinrange(N): s=generate_complex_sinusoid(k,N) X_1=np.append(X_1,np.sum(x*s)) mX=np.abs(X_1) pX=np.angle(X_1) #plotthemagnitudeandphase plt.subplot(2,1,1) plt.plot(mX) plt.subplot(2,1,2) plt.plot(pX) plt.show() #结果和scipy的结果基本相同
#第二种方法计算DFT S=generate_complex_sinusoid_matrix(N) X_2=np.dot(S,x) mX=np.abs(X_2) pX=np.angle(X_2) #plotthemagnitudeandphase plt.subplot(2,1,1) plt.plot(mX) plt.subplot(2,1,2) plt.plot(pX) plt.show()
总结
回顾了DFT的计算公式，并尝试用矩阵相乘的角度来理解DFT
介绍了两种生成正弦信号的方法
实现了两种DFT的计算方法
完整代码在这里
以上这篇信号生成及DFT的python实现方式就是小编分享给大家的全部内容了，希望能给大家一个参考，也希望大家多多支持毛票票。
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