傅立叶级数 - 表示和性质
JeanBaptisteJosephFourier开发了一种分析非正弦波形的技术，适用于广泛的工程问题。很多时候，时域中可用的所有信息都不足以用于分析电路，因此我们必须将信号转换到频域中以提取有关信号的更多信息。傅立叶级数是用于将信号从时域转换到频域的工具。在傅立叶级数中，信号被分解为谐波相关的正弦函数。
频域分析
周期信号可以分解为谐波相关的正弦函数或复指数函数的线性加权和，称为傅立叶级数。通过将信号分解成与频率相关的分量来分析信号被称为频域分析。
傅里叶级数只能用来表示那些满足狄利克雷条件的周期信号。
狄利克雷条件
一个函数f(t)可以在任何时间段t上绝对积分，如果
f(t)在周期(t)的任何有限区间内具有有限数量的最大值和最小值。
f(t)在周期(t)的任何有限区间内具有有限数量的不连续性，并且这些不连续性中的每一个都是有限的。
傅里叶级数表示
有两种类型的傅立叶级数表示，它们彼此等价。根据信号的类型，选择最方便的表示。
傅立叶级数的指数形式
傅立叶级数的三角形式
傅立叶级数的指数形式
JBJFourier证明了周期函数f(t)可以表示为正弦函数的总和。根据傅立叶表示，
$$f(t)=a_{0}+\displaystyle\sum\limits_{n=1}^\inftyM_{n}\cos(n\omega_{0}t+\theta_{n})$$
其中$\omega_{0}=\frac{2\Pi}{T_{0}^{\prime}}$
T0是时间段，当n=1时，一个周期覆盖T0秒，而$M_{1}\cos(\omega_{0}t+\theta_{1})$称为基本。当n=2，T0代表T内部两个周期0秒，同时$M_{2}\COS（2\omega_{0}T+\theta_{2}）$被称为2次谐波。同样，对于n=K，K个周期落在T0秒内，$M_{K}\cos(K\omega_{0}t+\theta_{K})$是K次谐波项。
因此通过使用欧拉恒等式，
$$f(t)=a_{0}+\displaystyle\sum\limits_{n=-\infty\\n\neq\:0}^\inftyC_{n}e^{jn\omega_{0}t}$$
其中，Cn=复傅立叶系数，
$$f(t)=a_{0}+\displaystyle\sum\limits_{n=1}^\inftya_{n}\cos(n\omega_{0}t)+b_{n}\sin(nw_{0}t)$$
傅立叶系数由表达式定义，
$$C_{n}=\frac{1}{T_{0}}\int_{t_{1}}^{t_{1}+T_{0}}f(t)e^{-jn\omega_{0}t}dt\:\:\:...(1)$$
表达式(1)表示傅立叶级数的指数形式。
傅立叶级数的三角形式
傅立叶级数的三角形式可以很容易地从指数形式推导出来。具有基本时间周期T0的周期信号f(t)的三角傅立叶级数表示如下：
$$f(t)=a_{0}+\displaystyle\sum\limits_{n=1}^\infty(a_{n}\cos\:n\omega_{0}t+b_{n}\sin\:n\omega_{0}吨)$$
其中，$\omega_{0}=\frac{2\Pi}{T_{0}}$和$a_{n}$和$b_{n}$是由以下公式给出的傅立叶系数，
$$a_{n}=\frac{2}{T_{0}}\int_{t_{1}}^{t_{1}+T_{0}}f(t)\cos(n\omega_{0}t)dt$$
$$a_{n}=\frac{2}{T_{0}}\int_{t_{1}}^{t_{1}+T_{0}}f(t)\\sin(n\omega_{0}t)dt$$
a0是可以直接从波形中评估的波形的平均值，由下式给出，
$$a_{0}=\frac{1}{T_{0}}\int_{t_{1}}^{t_{1}+T_{0}}f(t)dt$$
傅立叶级数的性质
如果f(t)是偶函数，即f(-t)=f(t)，则
$$a_{0}=\frac{2}{T_{0}}\int_{0}^{T_{0}/2}f(t)dt\:,$$
$$a_{n}=\frac{4}{T_{0}}\int_{0}^{T_{0}/2}f(t)dt\cos(n\omega_{0}t)dt\:,$$
$$b_{n}=0$$
如果f(t)是奇函数，即f(-t)=-f(t)，则
$$a_{0}=0$$,
$$a_{n}=0$$,
$$b_{n}=\frac{4}{T_{0}}\int_{0}^{T_{0}/2}f(t)\sin(n\omega_{0}t)dt\:,$$
如果f(t)是半波对称函数，即$f(t)==f(t-\frac{T_{0}}{2})$，则
当n为偶数时，
$$a_{0}=0$$,
$$a_{n}=b_{n}=0$$,
当n为奇数时，
$$a_{n}=\frac{4}{T_{0}}\int_{0}^{T_{0}/2}f(t)\cos(n\omega_{0}t)dt\:,$$,
$$b_{n}=\frac{4}{T_{0}}\int_{0}^{T_{0}/2}f(t)\sin(n\omega_{0}t)dt$$
傅里叶级数的性质总结
对于偶函数，其傅立叶级数的所有项都是余弦项。不存在正弦项。但是，该函数确实具有平均值a0
对于奇函数，级数只包含正弦项。没有平均值，也没有余弦项。
如果给定的函数是半波对称的，则该系列中仅存在奇次谐波，并且当n为奇数时，该系列将同时包含正弦和余弦项。平均值为零。