证明有限个可数集的笛卡尔积是可数的？
问题
我们必须证明有限个可数集的笛卡尔积是可数的。
解决方案
令X1,X2,……..Xn为可数集。
Yk=X1*X2*…….*当k=1时，Xk……。否）。因此，
Yn:=X1*X2*···*Xn
证明
使用归纳-
如果k=1，则Y1=X1是可数的。
假设Yk(k∈n,1≤k 那么Yk+1=(X1*X2*…….*Xk)*Xk+1=Yk*Xk+1其中Yk和Xk+1可以称为可数的。因此可数集的笛卡尔积总是可数的。所以，Yk+1是可数的。 同样，让我们证明有限个可数无限集的笛卡尔积是可数无限的。 证明 令X1,X2,……..Xn为可数无穷集。 定义Yk=X1*X2*…….*Xk当k=1……。否）。因此 因此，Yn:=X1*X2*···*Xn 首先我们需要证明Yn是可数的。 通过归纳法 如果k=1，则集合Y1=X1是可数无穷大的。 假设Yk(K☐N,1<=K 然后， Yk+1=(X1*X2*....Xk)*Xk+1 Yk+1=Yk*Xk+1 其中，Yk和Xk+1都是可数无穷大，我们知道可数集的笛卡尔积是可数的。 因此，Yk+1是可数无穷大。 我们得出结论，X1*X2*.....Xn是可数无限的。 因此，有限个可数无限集的笛卡尔积是可数无限的。